समतलों vec{r} cdot(2 hat{i}+2 hat{j}-3 hat{k} | vedclass

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Question

(A) दिए गए समतलों के समीकरण $\vec{r} \cdot (2\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) = 7$ और $\vec{r} \cdot (2\hat{i} + 5\hat{j} + 3\hat{k}) = 9$ हैं।इन दो समत

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$\vec{r} \cdot (38\hat{i} + 68\hat{j} + 3\hat{k}) = 153$

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(A) दिए गए समतलों के समीकरण $\vec{r} \cdot (2\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) = 7$ और $\vec{r} \cdot (2\hat{i} + 5\hat{j} + 3\hat{k}) = 9$ हैं।इन दो समतलों के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण इस प्रकार है:$[\vec{r} \cdot (2\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) - 7] + \lambda [\vec{r} \cdot (2\hat{i} + 5\hat{j} + 3\hat{k}) - 9] = 0$,जहाँ $\lambda \in \mathbb{R}$ है।पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:$\vec{r} \cdot [(2 + 2\lambda)\hat{i} + (2 + 5\lambda)\hat{j} + (-3 + 3\lambda)\hat{k}] = 7 + 9\lambda$  ... $(1)$चूँकि समतल बिंदु $(2,1,3)$ से गुजरता है,इसका स्थिति सदिश $\vec{r} = 2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$ है।इस मान को समीकरण $(1)$ में रखने पर:$(2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}) \cdot [(2 + 2\lambda)\hat{i} + (2 + 5\lambda)\hat{j} + (3\lambda - 3)\hat{k}] = 7 + 9\lambda$अदिश गुणन करने पर:$2(2 + 2\lambda) + 1(2 + 5\lambda) + 3(3\lambda - 3) = 7 + 9\lambda$$4 + 4\lambda + 2 + 5\lambda + 9\lambda - 9 = 7 + 9\lambda$$18\lambda - 3 = 7 + 9\lambda$$9\lambda = 10 \Rightarrow \lambda = \frac{10}{9}$.$\lambda = \frac{10}{9}$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:$\vec{r} \cdot [(\frac{38}{9})\hat{i} + (\frac{68}{9})\hat{j} + (\frac{3}{9})\hat{k}] = 17$दोनों पक्षों को $9$ से गुणा करने पर:$\vec{r} \cdot (38\hat{i} + 68\hat{j} + 3\hat{k}) = 153$.

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